Geometria Analítica: março 2014

domingo, 16 de março de 2014

Sistemas de Equações - Revisão

Prezados estudantes,

como na nossa ultima aula vi que alguns tiveram dificuldade em uma questão que envolvia o conhecimento de Sistemas de Equações. Resolvi fazer uma pequena revisão para os senhores.

Desfrutem e aproveite!

Qualquer dúvida remanescente, por favor, não hesitem de elucidar comigo.

Professor Rodrigo Regis

Um sistema de equações é um conjunto finito de equações nas mesmas variáveis.

Os sistemas de equações são ferramentas bastante comuns na resolução de problemas nas diversas áreas do conhecimento (Matemática, Física, Química, Engenharia, etc). De maneira geral, a resolução de um sistema é bem simples. Tal fato, muitas vezes leva o aluno a se atrapalhar para encontrar a solução deste, principalmente no que se refere à escolha do método de resolução e à solução final da questão.

Antes de mais nada é necessário entender o que significa resolver um sistema de equações. Por exemplo, considere o sistema descrito a seguir.

Resolver este sistema de equações é o mesmo que obter os valores de x e de yque satisfazem, simultaneamente, ambas as equações.

Na maioria das vezes, podemos resolver um sistema utilizando qualquer um dos métodos existentes. Contudo, é sempre muito bom saber fazer a escolha pelo método mais rápido e seguro.

Tendo isso em mente, apresento a seguir, três métodos de resolução de sistemas.

	Método da Adição
	Esse método consiste em somar as equações do sistema, para obter outra equação com uma única incógnita. Para que isso aconteça, será necessário que multipliquemos uma ou mais vezes as equações (ou apenas uma equação), pelo número que nos interessa, de modo que uma incógnita tenha coeficientes opostos nas duas expressões.
	Exemplo: Resolva o sistema

	Passo 1: Multiplique a segunda linha por -2, para obter outra equação equivalente, na qual a incógnita x apareça com o coeficiente -2, de maneira a ser possível (na adição) cancelar os termos que contém x.

	Nota: Aqui você poderia ter escolhido multiplicar a primeira linha por (-1/2), mas o processo de resolução seria mais complicado.

	Passo 2: Some as equações e isole y na equação obtida.


	Passo 3: Substitua o valor de y = -1 encontrado, em qualquer uma das equações do sistema, para encontrar o valor de x.


	Passo 4: Escrever a solução do sistema.
	S = {(4,-1)}

	Método da Substituição
	Este método consiste em isolar uma incógnita numa equação e substituí-la na outra equação do sistema dado, recaindo-se numa equação com uma única incógnita. Procure sempre escolher a equação mais simples (desde que ela exista)para isolar uma das incógnitas.
	Exemplo: Resolva o sistema

	Passo 1: Isole o x na segunda equação (equação mais simples). Escolhemos essa equação e a variável x para isolar, pois nela o coeficiente de x é igual a 1.

	Nota: Aqui você poderia ter escolhido isolar o y, mas o processo de resolução seria mais complicado.

	Passo 2: Substitua x = 8 + 4y na primeira equação para encontrar o valor de y.


	Passo 3: Substitua o valor de y = -1 encontrado, em , para encontrar o valor de x.


	Passo 4: Escrever a solução do sistema.
	S = {(4,-1)}

	Método da Igualdade
	Este método consiste em isolar uma incógnita numa equação e a mesma incógnita na outra e, em seguida, igualar as duas equações para obter uma equação com uma única incógnita.
	Exemplo: Resolva o sistema

	Passo 1: Isole o x na primeira e na segunda equação para podermos igualá-las.

	Nota: Aqui você poderia ter escolhido isolar o y, mas o processo de resolução seria mais complicado.

	Passo 2: Iguale as duas equações para encontrar o valor de y.


	Passo 3: Substitua o valor de y = -1 encontrado, em , para encontrar o valor de x.

	Nota: Aqui você poderia ter escolhido substituir o valor de y na equação .

	Passo 4: Escrever a solução do sistema.
	S = {(4,-1)}

Como você pode observar, independente do método de resolução, a solução obtida é sempre a mesma. Então, seu papel é escolher o método menos trabalhoso para resolver o sistema.

quinta-feira, 13 de março de 2014

Aula de Paralelismo e Ortogonalidade entre Vetores

Relembrando o assunto visto em sala de aula.

Aproveitem!

Revisão

sábado, 1 de março de 2014

Produto Escalar entre dois Vetores

Ésempre útil conhecer o produto escalar entre dois vetores. Há duas maneiras de tomar esse produto: quando conhecemos o ângulo entre os vetores, bem como seus módulos, e quando conhecemos as componentes desses vetores em um sistema de coordenadas ortogonal, como no cartesiano. No primeiro caso, o produto escalar entre os vetores ${ \mathbf{u}}$ e ${ \mathbf{w}}$ escreve-se

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \mathbf{u}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{w} & = & \displaystyle uw\cos\theta,\qquad\left(1\right) \end{array}$

onde ${ u=\left|\mathbf{u}\right|}$ e ${ w=\left|\mathbf{w}\right|}$ são os módulos dos vetores ${ \mathbf{u}}$ e ${ \mathbf{w},}$ respectivamente, e ${ \theta}$ é o ângulo entre eles, como indicado na figura abaixo.

Pela lei dos cossenos, sabemos que

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \left|\mathbf{u}-\mathbf{w}\right| & = & \displaystyle \sqrt{u^{2}+w^{2}-2uw\cos\theta},\qquad\left(2\right) \end{array}$

como é evidente da figura abaixo.

Elevando ambos os membros da Eq. (2) ao quadrado, obtemos

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \left|\mathbf{u}-\mathbf{w}\right|^{2} & = & \displaystyle u^{2}+w^{2}-2uw\cos\theta\qquad\left(3\right) \end{array}$

e, da definição de produto escalar, Eq. (1), o resultado expresso pela Eq. (3) fornece

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \left|\mathbf{u}-\mathbf{w}\right|^{2} & = & \displaystyle u^{2}+w^{2}-2\mathbf{u}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{w},\qquad\left(4\right) \end{array}$

isto é, podemos rearranjar os termos que aparecem na Eq. (4) e obter

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \mathbf{u}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{w} & = & \displaystyle \displaystyle\frac{u^{2}+w^{2}-\left|\mathbf{u}-\mathbf{w}\right|^{2}}{2}.\qquad\left(5\right) \end{array}$

Em termos de componentes, podemos escrever

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \mathbf{u} & = & \displaystyle u_{x}\mathbf{\hat{x}}+u_{y}\mathbf{\hat{y}}+u_{z}\mathbf{\hat{z}}\qquad\left(6\right) \end{array}$

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \mathbf{w} & = & \displaystyle w_{x}\mathbf{\hat{x}}+w_{y}\mathbf{\hat{y}}+w_{z}\mathbf{\hat{z}}.\qquad\left(7\right) \end{array}$

Logo, dadas as Eqs. (6) e (7), segue que

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \mathbf{u}-\mathbf{w} & = & \displaystyle \left(u_{x}-w_{x}\right)\mathbf{\hat{x}}+\left(u_{y}-w_{y}\right)\mathbf{\hat{y}}+\left(u_{z}-w_{z}\right)\mathbf{\hat{z}}\qquad\left(8\right) \end{array}$

e, portanto, das Eqs. (6), (7) e (8), seguem

$\begin{array}{rcl} \displaystyle u^{2} & = & \displaystyle u_{x}^{2}+u_{y}^{2}+u_{z}^{2},\qquad\left(9\right) \end{array}$

$\begin{array}{rcl} \displaystyle w^{2} & = & \displaystyle w_{x}^{2}+w_{y}^{2}+w_{z}^{2}\qquad\left(10\right) \end{array}$

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \left|\mathbf{u}-\mathbf{w}\right|^{2} & = & \displaystyle \left(u_{x}-w_{x}\right)^{2}+\left(u_{y}-w_{y}\right)^{2}+\left(u_{z}-w_{z}\right)^{2}, \end{array}$

isto é,

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \left|\mathbf{u}-\mathbf{w}\right|^{2} & = & \displaystyle \left(u_{x}^{2}-2u_{x}w_{x}+w_{x}^{2}\right)+\left(u_{y}^{2}-2u_{y}w_{y}+w_{y}^{2}\right)+\left(u_{z}^{2}-2u_{z}w_{z}+w_{z}^{2}\right)\\ & = & \displaystyle u_{x}^{2}-2u_{x}w_{x}+w_{x}^{2}+u_{y}^{2}-2u_{y}w_{y}+w_{y}^{2}+u_{z}^{2}-2u_{z}w_{z}+w_{z}^{2}, \end{array}$

que, com um rearranjo dos termos, fornece

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \left|\mathbf{u}-\mathbf{w}\right|^{2} & = & \displaystyle \left(u_{x}^{2}+u_{y}^{2}+u_{z}^{2}\right)+\left(w_{x}^{2}+w_{y}^{2}+w_{z}^{2}\right)-2\left(u_{x}w_{x}+u_{y}w_{y}+u_{z}w_{z}\right).\qquad\left(11\right) \end{array}$

Mas, as duas primeiras somas entre parênteses no segundo membro da Eq. (11) são, de acordo com as Eqs. (9) e (10), ${ u^{2}}$ e ${ w^{2}}$ e, portanto, podemos reescrever a Eq. (11) como

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \left|\mathbf{u}-\mathbf{w}\right|^{2} & = & \displaystyle u^{2}+w^{2}-2\left(u_{x}w_{x}+u_{y}w_{y}+u_{z}w_{z}\right).\qquad\left(12\right) \end{array}$

A substituição da Eq. (12) na Eq. (5) dá

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \mathbf{u}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{w} & = & \displaystyle \displaystyle\frac{u^{2}+w^{2}}{2}-\displaystyle\frac{u^{2}+w^{2}-2\left(u_{x}w_{x}+u_{y}w_{y}+u_{z}w_{z}\right)}{2}, \end{array}$

isto é,

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \mathbf{u}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{w} & = & \displaystyle \displaystyle\frac{u^{2}+w^{2}}{2}-\displaystyle\frac{u^{2}+w^{2}}{2}+\displaystyle\frac{2\left(u_{x}w_{x}+u_{y}w_{y}+u_{z}w_{z}\right)}{2}, \end{array}$

ou seja,

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \mathbf{u}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{w} & = & \displaystyle u_{x}w_{x}+u_{y}w_{y}+u_{z}w_{z},\qquad\left(13\right) \end{array}$

que é a segunda maneira de obter o produto escalar entre dois vetores: através de suas componentes ortogonais.