sábado, 1 de março de 2014

Produto Escalar entre dois Vetores

Ésempre útil conhecer o produto escalar entre dois vetores. Há duas maneiras de tomar esse produto: quando conhecemos o ângulo entre os vetores, bem como seus módulos, e quando conhecemos as componentes desses vetores em um sistema de coordenadas ortogonal, como no cartesiano. No primeiro caso, o produto escalar entre os vetores { \mathbf{u}} e { \mathbf{w}} escreve-se
\begin{array}{rcl} \displaystyle \mathbf{u}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{w} & = & \displaystyle uw\cos\theta,\qquad\left(1\right) \end{array}
onde { u=\left|\mathbf{u}\right|} e { w=\left|\mathbf{w}\right|} são os módulos dos vetores { \mathbf{u}} e { \mathbf{w},} respectivamente, e { \theta} é o ângulo entre eles, como indicado na figura abaixo.
Pela lei dos cossenos, sabemos que
\begin{array}{rcl} \displaystyle \left|\mathbf{u}-\mathbf{w}\right| & = & \displaystyle \sqrt{u^{2}+w^{2}-2uw\cos\theta},\qquad\left(2\right) \end{array}
como é evidente da figura abaixo.
Elevando ambos os membros da Eq. (2) ao quadrado, obtemos
\begin{array}{rcl} \displaystyle \left|\mathbf{u}-\mathbf{w}\right|^{2} & = & \displaystyle u^{2}+w^{2}-2uw\cos\theta\qquad\left(3\right) \end{array}
e, da definição de produto escalar, Eq. (1), o resultado expresso pela Eq. (3) fornece
\begin{array}{rcl} \displaystyle \left|\mathbf{u}-\mathbf{w}\right|^{2} & = & \displaystyle u^{2}+w^{2}-2\mathbf{u}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{w},\qquad\left(4\right) \end{array}
isto é, podemos rearranjar os termos que aparecem na Eq. (4) e obter
\begin{array}{rcl} \displaystyle \mathbf{u}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{w} & = & \displaystyle \displaystyle\frac{u^{2}+w^{2}-\left|\mathbf{u}-\mathbf{w}\right|^{2}}{2}.\qquad\left(5\right) \end{array}
Em termos de componentes, podemos escrever
\begin{array}{rcl} \displaystyle \mathbf{u} & = & \displaystyle u_{x}\mathbf{\hat{x}}+u_{y}\mathbf{\hat{y}}+u_{z}\mathbf{\hat{z}}\qquad\left(6\right) \end{array}
e
\begin{array}{rcl} \displaystyle \mathbf{w} & = & \displaystyle w_{x}\mathbf{\hat{x}}+w_{y}\mathbf{\hat{y}}+w_{z}\mathbf{\hat{z}}.\qquad\left(7\right) \end{array}
Logo, dadas as Eqs. (6) e (7), segue que
\begin{array}{rcl} \displaystyle \mathbf{u}-\mathbf{w} & = & \displaystyle \left(u_{x}-w_{x}\right)\mathbf{\hat{x}}+\left(u_{y}-w_{y}\right)\mathbf{\hat{y}}+\left(u_{z}-w_{z}\right)\mathbf{\hat{z}}\qquad\left(8\right) \end{array}
e, portanto, das Eqs. (6), (7) e (8), seguem
\begin{array}{rcl} \displaystyle u^{2} & = & \displaystyle u_{x}^{2}+u_{y}^{2}+u_{z}^{2},\qquad\left(9\right) \end{array}
\begin{array}{rcl} \displaystyle w^{2} & = & \displaystyle w_{x}^{2}+w_{y}^{2}+w_{z}^{2}\qquad\left(10\right) \end{array}
e
\begin{array}{rcl} \displaystyle \left|\mathbf{u}-\mathbf{w}\right|^{2} & = & \displaystyle \left(u_{x}-w_{x}\right)^{2}+\left(u_{y}-w_{y}\right)^{2}+\left(u_{z}-w_{z}\right)^{2}, \end{array}
isto é,
\begin{array}{rcl} \displaystyle \left|\mathbf{u}-\mathbf{w}\right|^{2} & = & \displaystyle \left(u_{x}^{2}-2u_{x}w_{x}+w_{x}^{2}\right)+\left(u_{y}^{2}-2u_{y}w_{y}+w_{y}^{2}\right)+\left(u_{z}^{2}-2u_{z}w_{z}+w_{z}^{2}\right)\\ & = & \displaystyle u_{x}^{2}-2u_{x}w_{x}+w_{x}^{2}+u_{y}^{2}-2u_{y}w_{y}+w_{y}^{2}+u_{z}^{2}-2u_{z}w_{z}+w_{z}^{2}, \end{array}
que, com um rearranjo dos termos, fornece
\begin{array}{rcl} \displaystyle \left|\mathbf{u}-\mathbf{w}\right|^{2} & = & \displaystyle \left(u_{x}^{2}+u_{y}^{2}+u_{z}^{2}\right)+\left(w_{x}^{2}+w_{y}^{2}+w_{z}^{2}\right)-2\left(u_{x}w_{x}+u_{y}w_{y}+u_{z}w_{z}\right).\qquad\left(11\right) \end{array}
Mas, as duas primeiras somas entre parênteses no segundo membro da Eq. (11) são, de acordo com as Eqs. (9) e (10), { u^{2}} e { w^{2}} e, portanto, podemos reescrever a Eq. (11) como
\begin{array}{rcl} \displaystyle \left|\mathbf{u}-\mathbf{w}\right|^{2} & = & \displaystyle u^{2}+w^{2}-2\left(u_{x}w_{x}+u_{y}w_{y}+u_{z}w_{z}\right).\qquad\left(12\right) \end{array}
A substituição da Eq. (12) na Eq. (5) dá
\begin{array}{rcl} \displaystyle \mathbf{u}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{w} & = & \displaystyle \displaystyle\frac{u^{2}+w^{2}}{2}-\displaystyle\frac{u^{2}+w^{2}-2\left(u_{x}w_{x}+u_{y}w_{y}+u_{z}w_{z}\right)}{2}, \end{array}
isto é,
\begin{array}{rcl} \displaystyle \mathbf{u}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{w} & = & \displaystyle \displaystyle\frac{u^{2}+w^{2}}{2}-\displaystyle\frac{u^{2}+w^{2}}{2}+\displaystyle\frac{2\left(u_{x}w_{x}+u_{y}w_{y}+u_{z}w_{z}\right)}{2}, \end{array}
ou seja,
\begin{array}{rcl} \displaystyle \mathbf{u}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{w} & = & \displaystyle u_{x}w_{x}+u_{y}w_{y}+u_{z}w_{z},\qquad\left(13\right) \end{array}
que é a segunda maneira de obter o produto escalar entre dois vetores: através de suas componentes ortogonais.
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